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Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Jakob Stix

By Jakob Stix

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Dann gilt vol(Γ) = vol(Φ) ≥ γ∈Γ 1 = vol( M ∩ 2 1 vol((γ + M ) ∩ Φ) = 2 γ∈Γ γ∈Γ 1 vol( M ∩ (Φ − γ)) 2 1 Φ − γ) = vol( M ) = 2−n vol(M ) 2 im Widerspruch zur Voraussetzung. Seien γ1 = γ2 Gitterelemente mit 1 1 x ∈ γ1 + M ∩ γ2 + M. 2 2 Dann gibt es m1 , m2 ∈ M mit 1 1 x = γ1 + m1 = γ2 + m2 . 2 2 Folglich ist 1 1 1 1 0 = γ1 − γ2 = (x − m1 ) − (x − m2 ) = m2 + (−m1 ). 2 2 2 2 Weil M zentralsymmetrisch ist, haben wir −m1 ∈ M , und weil M konvex ist auch 1 2 (−m1 ) ∈ M . Somit ist γ1 − γ2 ∈ Γ ∩ M der gesuchte Gitterpunkt.

Wir nehmen daher an, daß es 0 = x ∈ a gibt. Die Inklusion (x) ⊆ a ist nach Lokalisieren an p ein Isomorphismus, wenn vp (x) = vp (a). Dies gilt an allen bis auf endlich vielen Stellen p. Wir nehmen die Liste der Ausnahmen p und alle p mit vp (a) > 0: {p1 , . . , ps } = {p ; vp (x) = vp (a) oder vp (a) > 0}. 34 können wir ein y ∈ A finden mit vpi (y) = vpi (a) für alle i = 1, . . , s. 16, und (x, y) = a, dies gilt lokal an jedem maximalen Primideal p: • Wenn p = p1 , . . , ps , dann ist ap = (x)p ⊆ (x, y)p ⊆ ap .

Pr . Beweis. 17 um ein endliches Produkt handelt. Das Produkt ist also wohldefiniert. Anschließend kann man die Behauptete Gleichheit von gebrochenen Idealen nach Lokalisieren für alle maximalen Primideale p beweise. Aber lokalisiert steht da nur pvq (I) Ip = p q = (pvp (I) )p · (qvq (I) )p = (pp )vp (I) · q=p Ap = (pp )vp (I), q=p und das ist gerade die Definition von vp (I). (2) Wenn I = ri=1 pni i , dann kann man für jedes p lokalisieren und erhält r v (I) ppp r pni i = Ip = i=1 p (pp )ni Ap = (pp )0 (pi )np i = = i=1 falls p = pi für ein i.

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