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Algebra: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Seien K(x1 ), . . , K(xk ) die verschiedenen Konjugationsklassen in G. Dann gilt: k |G| = k |K(xi )| = i=1 (G : Zxi ) i=1 Die Klassengleichung l¨ asst sich auch in der Form |G| = |Z(G)| + (G : Zxi ) (G:Zxi )>1 schreiben, wobei Z(G) := {x ∈ G | gx = xg ∀ g ∈ G} das Zentrum von G bezeichnet. Algebra, Universit¨ at G¨ ottingen 2006/2007 36 3 Strukturaussagen u ¨ ber einige Gruppen Beweis. 21), also k |G| = |B| = B Bahn k |K(xi )| = i=1 (G : Zxi ) . i=1 Zur zweiten Form der Klassengleichung: F¨ ur x ∈ G gilt x ∈ Z(G) ⇐⇒ Zx = G ⇐⇒ 1 = (G : Zx ) = |K(x)| ⇐⇒ K(x) = {x} .

3). • Ist H eine p-Sylowgruppe in G, so ist der Index (G : H) nicht durch p teilbar. r |G| Denn es ist nach der Abz¨ahlformel (G : H) = |H| = pprm = m , und es gilt p m . 8 29 Zweiter Sylowscher Satz Satz. Seien G eine endliche Gruppe, H eine p-Sylowgruppe in G und U eine Untergruppe von G der Ordnung ps mit s 0 . Dann gibt es g ∈ G so, dass U ⊂ gHg −1 gilt. Beweis. Sei M = {gH | g ∈ G} die Menge der Linksnebenklassen von H . 7. Die Gruppe U operiert auf M durch U × M → M , (u, gH) → u gH . Da M die disjunkte Vereinigung von Bahnen ist (vgl.

Wegen Ni ∩ Nj ⊂ Ni ∩ (N1 · · · Ni−1 Ni+1 · · · Nk ) = {e} folgt xi xj = xj xi f¨ ur i = j . F¨ ur die Produktabbildung gilt daher π((x1 , . . , xk ) · (x1 , . . , xk )) = π(x1 x1 , . . , xk xk ) = x1 x1 · · · xk xk = x1 · · · xk · x1 · · · xk = π(x1 , . . , xk ) · π(x1 , . . , xk ) Also ist π ein Homomorphismus. Um zu zeigen, dass π injektiv ist, betrachte xi ∈ Ni f¨ ur i = 1, . . , k mit π(x1 , . . , xk ) = x1 · · · xk = e. Dann ist x−1 = x1 · · · xi−1 xi+1 · · · xk ∈ Ni ∩ (N1 · · · Ni−1 Ni+1 · · · Nk ) = {e}.

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